线性规划最优整数解怎么快速学
分支定届法的基本思路？
分支定届法的基本思路？
分支定界法是两栖学者理查德·卡普(Richard M.Karp)在20世纪60年代发明的，成功解决了涉及65个城市的旅行商问题，创下了当时的纪录。 "分枝定界法 "像树的分支一样展开问题的可行解，然后通过每个分支寻找最优解。
简介
分支定界法也可以用于混合整数规划，这是一种系统化的求解方法。用一般线性规划的单纯形法求得最优解后，将非整数值的决策变量分成两个最接近的整数，在原问题上加上分割条件，形成两个子问题(或分支)分别求解，从而得到目标函数值的上界(上界)或下界(下界)，从中找出最优解。
基本思想
1、基本思路
分支定界法是一种应用广泛的算法，技巧性很强，对不同类型的问题有不同的解法。分支定界法的基本思想是搜索约束优化问题的所有可行解(有限个)空间。当算法实现时，所有可行解空间被连续地分成越来越小的子集(称为分支)，并为每个子集中的解的值计算一个下界或上界(称为界限)。在每个分支之后，对于那些边界超过已知可行解值的子集，将不再进行分支。这样，可以忽略解决方案的许多子集(即搜索树上的许多节点)，从而缩小搜索范围。这个过程一直持续到找到可行解，并且可行解的值不大于任何子集的边界。所以这种算法一般都能找到最优解。
将一个问题分支成子问题并划分这些子问题的步骤称为分支定界法。
2.分支节点的选择
必须对搜索树上的某些点进行分支决策，即边界小于迄今为止所有可行解的最小下界的任何子集(节点)都可能是分支的选择对象(对于求最小值的问题)。如何选择搜索树上的节点作为下一个分支的节点？有两个原则:
1)从最小下界分支(队列FIFO分支定界法):每次计算完界限后，比较搜索树上所有当前叶节点的界限。找到边界最小的节点，就是下一个分支的节点。
？优点:考察的子问题少，能快速得到最优解；
？缺点:需要大量的内存空间来存储很多叶子节点的边界和对应的代价矩阵。
2)从最新的最小下界分支(优先级队列分支定界法):从最新的子集中选择下界最小的节点进行分支。
优点:节省空间；缺点:需要更多的分支操作，需要更多的时间。这两个原则进一步说明了算法设计中时空变换的概念。分支定界法已经成功地应用于解决整数规划问题、生产调度问题、旅行商问题、选址问题、背包问题，并且可行解的数目是有限的。其他问题。对于不同的问题，分支和边界的步骤和内容可能不同，但基本原理是一样的。
步骤
分枝定界法是解决组合优化问题的有效方法，其步骤如下:
第一步:如果问题的目标是最小化，设置当前最优解Z∞的值。
第二步:根据分支规则，从尚未深究的节点(局部解)中选择一个节点，在该节点的下一个层次中将其分成若干个新节点。
步骤3:计算每个新分支节点的下界(LB)。
第四步:测试每个节点的洞察情况。如果该节点满足以下任一条件，则该节点可以是insight，将不再被考虑:
？此节点的下限值大于或等于z值。
？在该节点中找到了具有最小下界的可行解；如果这个条件成立，就需要将可行解与z值进行比较，如果前者较小，就需要将z值更新为可行解的值。
？此节点不能包含可行的解决方案。
第五步:判断是否还有未知数，如果有，进行第二步，如果没有未知数，停止计算，得到最优解。
Kol
整数的计算方法？
首先我们定义一个整数的平方根从非负整数映射到非负整数的函数:我们可以用乘法线性搜索或者二分法搜索得到平方不超过的最大根。通过平方数的数列，我们在线性搜索中只能使用加法，因为两个完全平方数之差是一个奇数列:uint 32 _ t is qrt 0(uint 32 _ t n){ uint 32 _ t delta 3；for(uint 32 _ t square 1；平方n；△2)方三角；返回delta/2-1；}因为问题是关于大整数的，所以我们要把大整数的位数()考虑进去。线性搜索需要多次迭代，每次迭代的加法都需要时间。然而，最坏情况下的二分搜索法需要多次迭代，并且每次乘法都需要时间。但有些数值方法(如牛顿迭代)只适合计算近似，还涉及除法。让 咱们换个思路，参考文章整数平方根。类似长除法的，二进制只需要比较和减法，32位无符号整数的C实现如下:uint 32 _ t is qrt 1(uint 32 _ t n){ uint 32 _ t余数0，根0，除数；for(size _ t I 0；i 16i ) {根1；余数2；余数| n 30N2；//从n除数(根1) 1中提取2 MSBif(除数余数){余数-除数；根；} }返回root这种方法的迭代次数是次(一个整数有多少位)，每次迭代的加、减、移位、比较都是一样的。总时间和时间复杂度低于线性和二分搜索法。由于除数和根的关系是固定的，如果空间是一个考虑因素(考虑大整数或硬件实现)，可以把这种形式改为节省除数的存储:uint 32 _ t is qrt 2(uint 32 _ t n){ uint 32 _ t remainder 0，root 0；for(size _ t I 0；i 16i ) {根1；根；余数2；余数| n 30N2；//从n if(根余数){余数-根)中提取2 MSB根；} else-root；}返回根1；}接下来我们用C 11泛形式写这个算法，接受任何无符号整数类型:Template TypeName T T I SQRT(Const T N){ T Remainer { }，root { }；auto bit count is qrt _ traits t::bitcount(n)；for(size _ t I bit count；I 0；){ I-2；根1；根；余数2；余数| isqrt _ traits t::extractwobitsat(n，I)；如果(root remainder) {余数-根；根；} else-root；}返回根1；} T需要支持、、前缀、前缀-、| uint8_t，还需要提供一个isqrt_traitsT来提取两个额外的操作。对于内置的无符号整数类型，其通用isqrt_traits如下:Template TypeName T Struct isqrt _ traits { static _ ass: : IS _ unsign: : value，泛型iSQRT只对无符号类型)；//两个静态大小的倍数的位数_ T bit count(const T n){ T a(n)；size _ t count 0；while(a 0){ a 2；计数2；}返回计数；} //提取i 1，I位静态uint 8 _ T extractwobitsat(const T n，size _ T I){ return static _ castuint 8 _ T((n I)3)；} };在isqrt2的每次迭代中，我们通过移位得到两个比特，而在isqrt中，我们使用extractwobitsat(n，I)得到第1个和第1个比特。这个变化是因为可以直接从一个大整数中获取一个比特，而不需要复制另一个大整数进行移位运算。这里的BitCount()其实可以简单的返回siz: : Vector U中，这里U一般可以设置为uint32_t或者uint64_t，并添加十六进制流输出:template typename U class biguint {public: biguint(): v { 0 } { } biguint(STD :: initializ: v(init){ } biguint运算符(size _ t shift){ assert(shift unitBitCount)；u in bits 0；for(auto x : v){ U outBits x(unitBitCount-shift)；x(x shift)| in bits；inBits outBits} if(in bits)v . push _ back(in bits)；返回* this} biguint运算符(size _ t shift){ assert(shift unitBitCount)；u in bits 0；for(auto itr v . r begin()；itr！();itr){ U outBits * itr(unitBitCount-shift)；* itr(* itr shift)| in bits；inBits outBits} if(()0)v . pop _ back()；返回* this} biguint运算符|(uint 8 _ t RHS){ v[0]| RHS；返回* this} biguint运算符-(const biguint RHS){ ass: 0；u以前的v[I]；v[I]-r in borrow；inBorrow v[i]上一页1 : 0；} assert(in borrow 0)；while(()1()0)v . pop _ back()；返回* this} biguint运算符(){ for(auto x : v)if(x！0)返回* this五. push _ back(1)；返回* this} biguint运算符- () { ass: v)if(x-！0)返回* this返回* this} bool运算符(const biguint RHS)const { if(()()){ for(auto I()；I-0；)if (v[i] rhs.v[i])返回tru:e CHO 23-@ . com:e CHO 25-@ . come stream OS，const biguint x){ auto f(OS . flags())；OS 0x std:: hex；for(auto itr x . v . r begin()；itr！();itr)OS * itr；OS . flags(f)；返回OS；} friend struct is qrt _ traitsbiguint；privat:静态常量size _ t unitBitCount siz:: vectoru v；};并为biguintU提供一个iSqrt _ Traits:Template TypeName ustrct iSqrt _ Traitsbiguintu { static size _ t bit count(const biguintU n)。{ r::itbitcount *(()-1)is qrt _ traitsu::bitcount(())；}静态uint8 _ t extractTwoBitsAt(const biguintU n，size _ t I){ return static _ castuint 8 _ t((n . v[I/biguintu: unit count](I biguintu: unit count))3)；} };我简单测了一下45765和50！int main(){//floor(SQRT(45765))213 STD : : Cout I SQRT 1(45765)STD : : : : cout isqrt 2(45765)std: : : : cout isqrtunsign: : endl；// 50!49 eebc 961 ed 279 b 02 B1 ef 4f 28d 19 a 84 f 5973 a1d 2c 7800000000000//楼层(sqrt(50！))899310 e 94 A8 b 185249821 ebc: : cout is qrt(biguintuit 32 _ t { 0x 00000000，0xd2c78000，0x4f5973a1，0xf28d19a8，0xb02b1ef4，0x961ed279，0x 49 eebc })std: echo 54--} output $ g-stdc 11-o isqrt isqrt . CPP ./isqrt 213 213 213 0x 899310 e 94 A8 b 185249821 ebce 7050！平方根(sqrt(50！))在十六进制匹配(知乎插入的网址有bug)。原代码在大整数平方根github。注意:还没有完全测试过。-更新一:点击@算出大海无边的暗示。，时间复杂度的顺序应该是——更新2之前有错误:isqrt0()，感谢@LOOP反馈。